Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的下底边OA在x轴的负半轴上，CB∥OA，点B的坐标为（-，4），OA=CB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接PA，设点P的运动时间为t秒．设△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以PA为底△PAB是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵B的坐标为（-，4），OA=CB，
∴OA=×=5，
∴A（-5，0），
设AB的解析式为y=kx+b，
把A（-5，0），B（-，4）分别代入解析式y=kx+b得，
，
解得，
∴一次函数解析式为y=x+12；

（2）当0≤t＜时，如图1，
∵BP=BC-t=-t，
△PAB的高为4，
∴S=×（-t）×4=-2t+，（0≤t＜）．
当t≥时，如图2，
∵BP=t-，△PAB的高为4，
∴S=（t-）×4=2t-，（t≥）．


（3）当0≤t＜时，如图3，作BD⊥x轴．
∵AD=AO-DO=AO-BC=5-=，BD=4，
∴AB==；
当AB=BP时，=-t，
解得，t=-1＜0，无意义．
当t≥时，如图4，设P（-t，4）．
∵AB=BP，
∴（t-）²=（）²，
解得t₁=，t₂=（舍去）．
故存在以PA为底△PAB是等腰三角形，此时t=．
分析：（1）先根据点B的坐标为（-，4），OA=CB，求出A点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式；
（2）由于△PAB的高即为B点纵坐标，BP=BC-t或BP=t-，利用三角形面积公式即可直接求出S的表达式；
（3）求出AB的长，令AB=BP，即可求出△PAB是以PA为底的等腰三角形时t的值．
点评：本题考查了直角梯形的性质、等腰三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式等知识，综合性强，计算量大，要认真对待．