Question

（2013•来宾）在△AOB中，∠AOB=90°，AO=6厘米，BO=8厘米，分别以OB和OA所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，动点M从点A开始沿AO方向以2厘米/秒的速度向点O移动，同时动点N从点O开始沿OB方向以4厘米/秒的速度向点B移动（其中一点到达终点时，另一点随即停止移动）．
（1）求过点A和点B的直线表达式；
（2）当点M移动多长时间时，四边形AMNB的面积最小？并求出四边形AMNB面积的最小值；
（3）在点M和点N移动的过程中，是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点M 和点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件可以求出点A和点B的坐标，然后运用待定系数法就可以求出解析式；
（2）设四边形AMNB的面积为S，M、N运动的时间为t，表示出S与t的函数关系式，再由其解析式就可以求出结论；
（3）分类讨论，当△OMN∽△OAB和△ONM∽△OAB时分别求出t的值就可以求出M、N的坐标．

解答：解：（1）∵AO=6厘米，BO=8厘米，
∴A（0，6），B（8，0）．
设AB的解析式为y=kx+b，由题意，得

6=b 0=8k+b

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴直线AB的解析式为y=-

3

4

x+6；

（2）设四边形AMNB的面积为S，M、N运动的时间为t，由题意，得
AM=2t，ON=4t，
∴OM=6-2t，
∴S_△OMN=

1

2

（6-2t）•4t=-4t²+12t．
∴S=

1

2

×6×8-（-4t²+12t），
=24+4t²-12t，
=4（t-

3

2

）²+15．
∵a=4＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当t=

3

2

时，S_最小=15．
答：当点M移动

3

2

秒时，四边形AMNB的面积最小，最小值为15厘米²；

（3）当△OMN∽△OAB时，
∴

OM

OA

=

ON

OB

，
∴

6-2t

6

=

4t

8

，
∴t=

6

5

．
∴OM=6-2×

6

5

=

18

5

，ON=4×

6

5

=

24

5

，
∴M（0，

18

5

），N（

24

5

，0）；
当△ONM∽△OAB时，
∴

ON

OA

=

OM

OB

，
∴

4t

6

=

6-2t

8

，
∴t=

9

11

．
∴OM=6-2×

9

11

=

48

11

，ON=4×

9

11

=

36

11

，
∴M（0，

48

11

），N（

36

11

，0）

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的运用，二次函数的性质的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．