Question

某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润

Answer 1

（1）解：将点C（0，－3）的坐标代入二次函数y=a（x²－2mx－3m²），

则－3=a（0－0－3m²），

解得 a=.

（2）证明：如图，

过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．

由a（x²－2mx－3m²）=0，

解得 x₁=－m，x₂=3m，

∴ A（－m，0），B（3m，0）．

∵ CD∥AB，

∴ 点D的坐标为（2m，－3）．

∵ AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN.

∵ ∠DMA=∠ENA=90°，

∴ △ADM∽△AEN．

∴_.

设点E的坐标为 ，

∴=，

∴ x=4m，∴ E（4m，5）.

∵ AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，

∴ ，即为定值．

（3）解：如图所示，

记二次函数图象的顶点为点F，则点F的坐标为（m，－4），

过点F作FH⊥x轴于点H．

连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．

∵ tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，

∴ OG=3m．

此时，GF===4，

AD===3，∴=．

由（2）得=，∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5，

∴ 以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，

此时点G的横坐标为3m．