Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）若E是线段AD上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）因为BC为定值，所以当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如答图1所示，连接AC交l于点P，由轴对称性质可知，此点P即为所求；
（3）如答图2所示，
①首先根据题意，求出点E、F的坐标，然后利用S=S_△AEF+S_△DEF=

1

2

EF•AH，求出S与m的函数关系式；
②根据关系式，利用二次函数的极值，求出最大值及点E的坐标．

解答：解：（1）由题意可知：

9a-3b+3=0 a+b+3=0

，解得：

a=-1 b=-2

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3．

（2）∵y=-x²-2x+3，∴C（0，3）．
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．

如答图1所示，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．
∵AP=BP，
∴△PBC周长的最小值是：PB+PC+BC=AC+BC．
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AC=3

2

，BC=

10

．
∴△PBC周长的最小值是：3

2

+

10

．

（3）如答图2，

①∵抛物线y=-x²-2x+3的顶点D坐标为（-1，4），A（-3，0），
∴直线AD的解析式为：y=2x+6．
∵点E的横坐标为m，
∴E（m，2m+6），F（m，-m²-2m+3）
∴EF=-m²-2m+3-（2m+6）=-m²-4m-3．
∴S=S_△AEF+S_△DEF
=

1

2

EF•AG+

1

2

EF•GH=

1

2

EF•AH
=

1

2

×（-m²-4m-3）×2
=-m²-4m-3；
②S=-m²-4m-3=-（m+2）²+1
∴当m=-2时，S最大，最大值为1．此时点E的坐标为（-2，2）．

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、轴对称-最短路线等知识点，题目较为典型．