Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y= （m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”，
（1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是；双曲线y= 的“半双曲线”是；
（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；

（3）如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP ， 且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）y= ；y=
（2）

解：如图1，

∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ，

∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，

∴△AOB的面积为1

（3）

解：解法一：如图2，

依题意可知双曲线 的“半双曲线”为 ，

设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m， ），点N坐标为（m， ），

∴CM= ，CN= ．

∴MN= ﹣ = ．

同理PM=m﹣ = ．

∴S△PMN= MNPM=

∵1≤S△PMN≤2，

∴1≤ ≤2．

∴4≤k≤8，

解法二：如图3，

依题意可知双曲线 的“半双曲线”为 ，

设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m， ），点N坐标为（m，

∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．

连接OM，

∵ ，

∴△PMN∽△OCM．

∴ ．

∵S△OCM=k，

∴S△PMN= ．

∵1≤S△PMN≤2，

∴1≤ ≤2．

∴4≤k≤8．

【解析】解：（1）由“倍双曲线”的定义
∴双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ；
双曲线y= 的“半双曲线”是y= ．
所以答案是y= ，y= ；
【考点精析】掌握反比例函数的概念和反比例函数的图象是解答本题的根本，需要知道形如y＝k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．自变量x的取值范围是x不等于0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数；反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点．