Question

1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=2，BD=6，AC=BC=8，求证：AC⊥BD．

Answer 1

分析 过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，得出CF=AD=2，DF=AC=8，DF∥AC，得出BF=8+2=10，由勾股定理的逆定理证出△BDF是直角三角形，得出BD⊥DF，即可证出AC⊥BD．

解答 证明：过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，如图所示：
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD=2，DF=AC=8，DF∥AC，
∴BF=8+2=10，
∵BD²+DF²=6²+8²=100，BF²=10²=100，
∴BD²+DF²=BF²，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD⊥DF，
∵DF∥AC，
∴AC⊥BD．

点评 本题考查了梯形的性质、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质；熟练掌握梯形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．