Question

11．如图，已知反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象，当x取1，2，3，…n时，对应在反比例图象上的点分别为M₁、M₂、M₃…M_n，则S△P₁M₁M₂+S△P₂M₂M₃+…S△P_n-1M_n-1M_n=$\frac{n-1}{2n}$．

Answer 1

分析 先确定M₁（1，1），M₂（2，$\frac{1}{2}$），M₃（3，$\frac{1}{3}$），…，M_n（n，$\frac{1}{n}$），再根据三角形面积公式得到S_△P1M1M2=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{1}{2}$），S_△P2M2M3=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$），…，S_{△Pn-1Mn-1Mn}=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n}$），然后把它们相加即可．

解答 解：∵M₁（1，1），M₂（2，$\frac{1}{2}$），M₃（3，$\frac{1}{3}$），…，M_n（n，$\frac{1}{n}$），
∴S_△P1M1M2=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{1}{2}$），S_△P2M2M3=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$），…，S_{△Pn-1Mn-1Mn}=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴S${\;}_{△{P}_{1}{M}_{1}{M}_{2}}$+S${\;}_{△{P}_{2}{M}_{2}{M}_{3}}$+…+S${\;}_{△{P}_{n-1}{M}_{n-1}{M}_{n}}$=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{n-1}{n}$
=$\frac{n-1}{2n}$．
故答案为$\frac{n-1}{2n}$．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．