Question

11．如图，在Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的顶点O、A均在格点上，点B在x轴上，点A的坐标为（-1，2）．
（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为（1，-2）；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转60°后得到△A₁OB₁，那么点A₁的坐标为（1，2）；线段AB在旋转过程中所扫过的面积是$\frac{5π}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据关于原点对称的点的坐标特点，即可得出答案；
（2）由旋转的性质可求得点A₁的坐标，线段AB扫过的面积=${S}_{扇BO{B}_{1}}-{S}_{△AOB}+{S}_{△{A}_{A}{B}_{1}0}-{S}_{扇AO{A}_{1}}$=${S}_{扇BO{B}_{1}}-{S}_{扇AO{A}_{1}}$从而可求得答案．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-1，2），
∴A关于点O中心对称的点的坐标为（1，-2）；
（2）如图所示：

根据图形可知：点A₁的坐标为（1，2）．
由点A的坐标可知：OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOB=30°．
∴OB=2OA=2$\sqrt{5}$．
由旋转的性质可知：${S}_{△ABO}={S}_{△{A}_{1}{B}_{1}O}$．
线段AB扫过的面积=${S}_{扇BO{B}_{1}}-{S}_{△AOB}+{S}_{△{A}_{A}{B}_{1}0}-{S}_{扇AO{A}_{1}}$=${S}_{扇BO{B}_{1}}-{S}_{扇AO{A}_{1}}$=$\frac{60°π×（2\sqrt{5}）^{2}}{360°}$-$\frac{60°π×（\sqrt{5}）^{2}}{360°}$=$\frac{5π}{2}$．
故答案为：（1）（1，-2）；（2）（1，2）；$\frac{5π}{2}$．

点评 本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．