Question

20．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发型了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQO使得∠O=90°，点Q在在直角坐标系y轴正半轴上，点P在x轴正半轴上，点O与原点重合，∠OQP=60°，点H在边QO上，点D、E在边PO上，点G、F在边PQ上，那么点P坐标为（7$\sqrt{3}$+6，0）．

Answer 1

分析 在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，解答即可．

解答 解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP，
在△ABC与△GFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=GC}\\{∠ACB=∠GCF}\\{BC=FC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△GFC（SAS），
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等边三角形．
AC=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
则QH=HA=HG=AC=2$\sqrt{3}$，
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．AM=HA•cos60°=$\sqrt{3}$，
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4，
∴QR=2$\sqrt{3}$+3+4=7+2$\sqrt{3}$，
∴QP=2QR=14+4$\sqrt{3}$，
PR=QR•$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$+6，
∴点P的坐标为（7$\sqrt{3}$+6，0）．
故答案为：（7$\sqrt{3}$+6，0）．

点评 此题考查勾股定理问题，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．