Question

6．在画二次函数的图象时列出了下表：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	0	3	4	3	0	-5	…

观察表格，可以得到许多信息：
（1）抛物线的对称轴是直线x=1；当x=-2时，对应的y值是-5；
（2）我们还发现，在对称轴右侧，当x每增加1个单位时，对应y值除了趋势逐渐变小外，在数量上还存在某种规律，试利用这一规律，直接写出当x=5时，对应的y值是-12；
（3）函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象上有三点：A（m，y₁）、B（m+1，y₂）、C（m+2，y₃）．通过计算说明：（y₃-y₂）与（y₂-y₁）的差为定值．

Answer 1

分析 （1）观察表格知对称轴为x=1，根据二次函数的图象关于对称轴对称，当x=-2和当x=4时的函数值相等，据此可以求得当x=-2时的函数值；
（2）观察表格，找出规律，即可求得；
（3）用待定系数法求出抛物线的解析式，分别求得y₁、y₂、y₃的值，代入（y₃-y₂）-（y₂-y₁）即可求得定值-2．

解答 解：（1）观察表格知对称轴为x=1，
∵二次函数的图象关于对称轴对称，当x=-1和x=3时的函数值相等，
∴当x=-2和当x=4时的函数值相等，
∵当x=4时y=-5，
∴当x=-2时y=-5．
故答案为：x=1，-5．
（2）我们还发现，在对称轴右侧，当x每增加1个单位时，对应y值除了趋势逐渐变小外，在数量上还存在规律：当x每增加1个单位时，对应y值的差分别是-1、-3、-5、-7、-9…；
所以当x=5时，对应的y值是-12．
故答案为：-12．
（3）解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
当x=0时，y=3，
则有：a（0-1）²+4=3，
∴a=-1；
∴y=-（x-1）²+4．
代入A（m，y₁）、B（m+1，y₂）、C（m+2，y₃）得，
y₁=-（m-1）²+4，y₂=-（m+1-1）²+4=-m²+4，y₃=-（m+2-1）²+4=-（m+1）²+4，
∵（y₃-y₂）-（y₂-y₁）=[-（m+1）²+4+m²-4]-[-m²+4+（m-1）²-4]=（-2m-1）-（-2m+1）=-2；
∴（y₃-y₂）与（y₂-y₁）的差为定值-2．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求解析式，（2）找出规律是解题的关键．