Question

1．已知，如图所示，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，求证：AD=BD=CD．

Answer 1

分析 过B作BE∥AC与AD的延长线相交于点E，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质进行证明即可．

解答 证明：过B作BE∥AC与AD的延长线相交于点E，连接CE，如图：
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠DCA，
在△BDE与△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠DCA}\\{BD=DC}\\{∠BDE=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA（ASA），
∴AD=DE，
∵BD=DC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴BC=AE，
∴AD=BD=DC=DE．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质进行证明．