Question

1．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图（1）摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=3，OP=2，OA=AB=1．将矩形ABCD和线段OA位置固定，线段OQ带着半圆一起绕点O逆时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
（1）当α=0°，点P在直线AB上（填“在”或“不在”）．求当α=15°时，OQ经过点B；
（2）如图（2），AD=2，当点P恰好落在BC边上时，求阴影部分的面积．
（3）如图（3），AD=2，当半圆K（弧PQ）与矩形的任一边所在的直线相切时，旋转停止．M为半圆K（弧PQ）上一动点，旋转过程中，A与M的距离为d，求d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1所示，过点P作PA′⊥OD，垂足为A′．在△A′OP中利用利用特殊锐角三角函数可求得OA′=1，由OA=1，从而可求得点A与点A′重合，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可知点P在AB上；如图2所示：由△ABO为等腰直角三角形可知∠AOB=45°，从而可求得∠QOQ′=15°；
（2）如图3所示：过点P作PE⊥OD，垂足为E，过点K作KG⊥PF，连接KF．依据特殊锐角三角函数可知：∠POE=30°．由平行线的性质可知∠AOP=∠OPB=30°，于是得到∠FPQ=30°，由圆周角定理可知∠FKQ=60°，然后依据扇形的面积公式可求得扇形KKQ的面积=$\frac{1}{6}π×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{π}{24}$，然后利用特殊锐角三角函数求得GK和FG的长，从而可求得△FPK的面积=$\frac{\sqrt{3}}{16}$；
（3）如图4所示：连接AQ，过点Q作QE⊥AB，垂足为E．由∠AOQ=60°，可知∠EQO=60°．由特殊锐角三角函数可知QE=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，在Rt△AQE中由勾股定理得AQ=$\sqrt{7}$．如图5所示：F为半圆与CB的切线，延长KF交OD于G，连接AK交半圆与点E．由切线的性质可知：KG⊥OD，故此可知：GK=1.5，在Rt△OGK中，由勾股定理可知OG=2，于是得到AG=1，在Rt△AKG中，由勾股定理可知AK=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，AE=AK-EK=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．从而可得到$\frac{\sqrt{13}-1}{2}≤d≤\sqrt{7}$．

解答 解：（1）如图1所示，过点P作PA′⊥OD，垂足为A′．

∵PA′⊥OD，
∴∠PA′O=90°．
∵∠POA′=60°，
∴OA′=cos60°•OP=$\frac{1}{2}OP$=$\frac{1}{2}×$2=1．
又∵OA=1，
∴点A与点A′重合．
∵PA⊥OD，AB⊥OD，
∴点P在直线AB上．
如图2所示：

∵AB=OA，∠OAB=90°，
∴∠AOB=45°．
∵∠AOP=60°，
∴∠QOQ′=60°-45°=15°．
故答案为：在；15°．
（2）如图3所示：过点P作PE⊥OD，垂足为E，过点K作KG⊥PF，连接KF．

∵PE⊥OD，
∴∠PEO=90°．
∵$\frac{EP}{OP}=\frac{1}{2}$，
∴∠POE=30°．
∵OD∥BC，
∴∠AOP=∠OPB=30°．
∴∠FPQ=30°．
∴∠FKQ=60°．
∴扇形KKQ的面积=$\frac{1}{6}π×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{π}{24}$．
∵KP=$\frac{1}{2}$，∠GPK=30°，
∴KG=$\frac{1}{4}$，GP=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴FP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴△FPK的面积=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{16}$．
∴阴影部分的面积=$\frac{\sqrt{3}}{16}+\frac{π}{24}$．
（3）如图4所示：连接AQ，过点Q作QE⊥AB，垂足为E．

∵AB⊥OD，
∴∠BAO=90°．
又∵∠AOQ=60°，
∴∠APO=30°．
∴∠QPE=30°．
∴QE=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}PQ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}OP$=$\sqrt{3}$．
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}QE+\frac{\sqrt{3}}{2}AO$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×（1+\frac{1}{2}）$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴AQ=$\sqrt{A{E}^{2}+Q{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
如图5所示：F为半圆与CB的切线，延长KF交OD于G，连接AK交半圆与点E．

∵半圆与BC相切，切点为F，
∴KF⊥BC．
∴KG⊥OD．
∴GK=GF+FK=1+0.5=1.5．
在Rt△OGK中，OG=$\sqrt{O{K}^{2}-G{K}^{2}}$=2．
∵OA=1，
∴AG=1．
在Rt△AKG中，AK=$\sqrt{G{K}^{2}+A{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴AE=AK-EK=$\frac{\sqrt{13}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
∴$\frac{\sqrt{13}-1}{2}≤d≤\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用、特殊锐角三角函数的应用、勾股定理、切线的性质、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积公式，根据题意画出d取值最大值和最小值时刻的图形是解题的关键．