【题目】已知:四边形 ABCD 内接于⊙O,连接 AC、BD,∠BAD+2∠ACB=180°.
(1)如图 1,求证:点 A 为弧 BD 的中点;
(2)如图 2,点 E 为弦 BD 上一点,延长 BA 至点 F,使得 AF=AB,连接 FE 交 AD 于点 P,过点 P 作 PH⊥AF 于点 H,AF=2AH+AP,求证:AH:AB=PE:BE;
(3)在(2)的条件下,如图 3,连接 AE,并延长 AE 交⊙O 于点 M,连接 CM,并延长 CM 交 AD 的延长线于点 N,连接 FD,∠MND=∠MED,DF=12﹒sin∠ACB,MN=,求 AH 的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)根据圆的内接四边形的性质可得∠BAD+∠BCD=180°,然后结合已知条件即可证出∠ACB=∠ACD,从而证出结论;
(2)在HF上取点G,使HG=HA,连接PG、AE,根据垂直平分线的性质可得AP=GP,结合已知条件可得,GP=GF,结合三线合一证出EA⊥BF,再证出EA∥PH,根据平行线分线段成比例定理和等量代换即可得出结论;
(3)连接MB和MD,先利用等角对等边证出MN=MD=,然后证出△BDF为直角三角形,∠BDF=90°,即可得出BF=12,然后证出△AFM∽△DFB,列出比例式即可求出DF,再根据勾股定理即可求出BD、BM,设AH=x,再利用相似三角形的判定及性质列出比例式即可求出结论.
解:(1)∵四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴∠BAD+∠BCD=180°
∵∠BAD+2∠ACB=180°
∴∠BCD=2∠ACB
∴∠ACB=∠ACD
∴
即点 A 为弧 BD 的中点;
(2)在HF上取点G,使HG=HA,连接PG、AE
∵PH⊥AF
∴PH垂直平分AG
∴AP=GP
∴∠PAG=∠PGA
∵
∴∠ADB=∠ABD
∴∠PAG=∠ADB+∠ABD=2∠ABD
∵AF=2AH+AP,AF=AH+HG+GF=2AH+GF
∴AP=GF
∴GP=GF
∴∠GPF=∠F
∴∠PGA=∠GPF+∠F=2∠F
∴∠ABD=∠F
∴EB=EF
∵AF=AB,
∴EA⊥BF
∴EA∥PH
∴AH:AF = PE:EF
∴AH:AB=PE:BE;
(3)连接MB和MD
∵
∴
∵
∴
∴
∴MN=MD=
∵,AB=AF
∴AB=AD=AF
∴∠ABD=∠ADB,∠ADF=∠AFD
∴∠ABD+∠AFD=∠ADB+∠ADF=∠BDF
∴△BDF为直角三角形,∠BDF=90°
∵
∴BF=12
∴AB=AD=AF=6
由(2)知:∠EAB=90°
∴∠MDB=90°
∴∠MDB+∠BDF=180°
∴M、D、F三点共线
∵∠AFM=∠DFB,∠FAM=∠FDB=90°
∴△AFM∽△DFB
∴
即
解得:DF=或-10(不符合实际,舍去)
根据勾股定理可得BD=
BM=
设AH=x,由(2)知:AP=AF-2AH=6-2x
由圆的内角四边形的性质可得:∠PAH=∠BMD
∵∠AHP=∠MDB=90°
∴△AHP∽△MDB
∴
即
解得:x=
即
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
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【题目】某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除,按学校的卫生要求需要完成总面积为60m2的三个项目的任务,三个项目的面积比例和每人每分钟完成各所示:项目的工作量如图:
(1)从统计图中可知:擦玻璃的面积占总面积的百分比为 ,每人每分钟擦课桌椅 m2;
(2)扫地拖地的面积是 m2;
(3)他们一起完成扫地和拖地任务后,把这13人分成两组,一组去擦玻璃,一组去擦课桌椅,如果你是卫生委员,该如何分配这两组的人数,才能最快地完成任务?
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为6,E,F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=MF;
(2)若AE=2,求FC的长.
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【题目】如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点 M 为 AB 边的中点,点 N 为射线 AC 上一点,连接 BN,过点 C 作 CD⊥BN 于点 D,连接 MD,作∠BNE=∠BNA,边 EN 交射线 MD 于点 E,若 AB=20,MD=14,则 NE 的长为___.
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【题目】如图1,在⊙O中,点C为劣弧AB的中点,连接AC并延长至D,使CA=CD,连接DB并延长交⊙O于点E,连接AE.
(1)求证:AE是⊙O的直径;
(2)如图2,连接CE,⊙O的半径为5,AC长为4,求阴影部分面积之和.(保留与根号) .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的,两点,与轴交于点.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出当时,的取值范围;
(3)在轴上找一点使最大,求的最大值及点的坐标.
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【题目】如图,一只箱子沿着斜面向上运动,箱高AB=1.3cm,当BC=2.6m时,点B离地面的距离BE=1m,则此时点A离地面的距离是( )
A.2.2mB.2mC.1.8mD.1.6m
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB:BC=3:4,点E是对角线BD上一动点(不与点B,D重合),将矩形沿过点E的直线MN折叠,使得点A,B的对应点G,F分别在直线AD与BC上,当△DEF为直角三角形时,CN:BN的值为_____.
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