精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】已知:四边形 ABCD 内接于⊙O,连接 ACBD,∠BAD+2ACB=180°

1)如图 1,求证:点 A 为弧 BD 的中点;

2)如图 2,点 E 为弦 BD 上一点,延长 BA 至点 F,使得 AF=AB,连接 FE AD 于点 P,过点 P PHAF 于点 HAF=2AH+AP,求证:AH:AB=PE:BE

3)在(2)的条件下,如图 3,连接 AE,并延长 AE 交⊙O 于点 M,连接 CM,并延长 CM AD 的延长线于点 N,连接 FD,∠MND=MEDDF=12sinACBMN=,求 AH 的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3

【解析】

1)根据圆的内接四边形的性质可得∠BAD+BCD=180°,然后结合已知条件即可证出∠ACB=ACD,从而证出结论;

2)在HF上取点G,使HG=HA,连接PGAE,根据垂直平分线的性质可得AP=GP,结合已知条件可得,GP=GF,结合三线合一证出EABF,再证出EAPH,根据平行线分线段成比例定理和等量代换即可得出结论;

3)连接MBMD,先利用等角对等边证出MN=MD=,然后证出△BDF为直角三角形,∠BDF=90°,即可得出BF=12,然后证出△AFM∽△DFB,列出比例式即可求出DF,再根据勾股定理即可求出BDBM,设AH=x,再利用相似三角形的判定及性质列出比例式即可求出结论.

解:(1)∵四边形 ABCD 内接于⊙O

∴∠BAD+BCD=180°

∵∠BAD+2ACB=180°

∴∠BCD=2ACB

∴∠ACB=ACD

即点 A 为弧 BD 的中点;

2)在HF上取点G,使HG=HA,连接PGAE

PHAF

PH垂直平分AG

AP=GP

∴∠PAG=PGA

∴∠ADB=ABD

∴∠PAG=ADB+∠ABD=2ABD

AF=2AH+APAF=AHHGGF=2AHGF

AP=GF

GP=GF

∴∠GPF=F

∴∠PGA=GPF+∠F=2F

∴∠ABD=F

EB=EF

AF=AB

EABF

EAPH

AHAF = PEEF

AH:AB=PE:BE

3)连接MBMD

MN=MD=

AB=AF

AB=AD=AF

∴∠ABD=ADB,∠ADF=AFD

∴∠ABD+∠AFD=ADB+∠ADF=BDF

∴△BDF为直角三角形,∠BDF=90°

BF=12

AB=AD=AF=6

由(2)知:∠EAB=90°

∴∠MDB=90°

∴∠MDB+∠BDF=180°

MDF三点共线

∵∠AFM=DFB,∠FAM=FDB=90°

∴△AFM∽△DFB

解得:DF=-10(不符合实际,舍去)

根据勾股定理可得BD=

BM=

AH=x,由(2)知:AP=AF2AH=62x

由圆的内角四边形的性质可得:∠PAH=BMD

∵∠AHP=MDB=90°

∴△AHP∽△MDB

解得:x=

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:

(1)这次活动共调查了   人;在扇形统计图中,表示支付宝支付的扇形圆心角的度数为   

(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的众数   ”;

(3)在一次购物中,小明和小亮都想从微信”、“支付宝”、“银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除,按学校的卫生要求需要完成总面积为60m2的三个项目的任务,三个项目的面积比例和每人每分钟完成各所示:项目的工作量如图:

1)从统计图中可知:擦玻璃的面积占总面积的百分比为   ,每人每分钟擦课桌椅   m2

2)扫地拖地的面积是   m2

3)他们一起完成扫地和拖地任务后,把这13人分成两组,一组去擦玻璃,一组去擦课桌椅,如果你是卫生委员,该如何分配这两组的人数,才能最快地完成任务?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为6EF分别是ABBC边上的点,且∠EDF=45°,将DAE绕点D逆时针旋转90°,得到DCM

(1)求证:EF=MF

(2)AE=2,求FC的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,ABC 为等腰直角三角形,∠ACB90°,点 M AB 边的中点,点 N 为射线 AC 上一点,连接 BN,过点 C CDBN 于点 D,连接 MD,作∠BNE=∠BNA,边 EN 交射线 MD 于点 E,若 AB20MD14,则 NE 的长为___.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,在⊙O中,点C为劣弧AB的中点,连接AC并延长至D,使CA=CD,连接DB并延长交⊙O于点E,连接AE.

(1)求证:AE⊙O的直径;

(2)如图2,连接CE,⊙O的半径为5,AC长为4,求阴影部分面积之和.(保留与根号) .

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点,与轴交于点

1)求该反比例函数和一次函数的解析式;

2)直接写出当时,的取值范围;

3)在轴上找一点使最大,求的最大值及点的坐标

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,一只箱子沿着斜面向上运动,箱高AB1.3cm,当BC2.6m时,点B离地面的距离BE1m,则此时点A离地面的距离是(

A.2.2mB.2mC.1.8mD.1.6m

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在矩形ABCD中,ABBC34,点E是对角线BD上一动点(不与点BD重合),将矩形沿过点E的直线MN折叠,使得点AB的对应点GF分别在直线ADBC上,当△DEF为直角三角形时,CNBN的值为_____

查看答案和解析>>

同步练习册答案