【题目】李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下,远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境.聪明的小芬同学利用几何图形,构造出了此意境!如图半径为5的⊙0在线段AB上方,且圆心O在线段AB的中垂线上,到AB的距离为,已知AB=20.线段PQ在AB上(AP<AQ),PQ=6,以PQ的中点C为顶点向上作Rt△CDE,其中∠D=90°,CD=3,sin∠DCE=sin∠DCQ=,设AP=m,当边DE与⊙O有交点时,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分两种情况讨论:当DE与圆O左侧相切时;当DE在圆O右侧,E在圆上时.
如图,当DE与圆O左侧相切时,过点O作OH⊥DE于H,过点H作HG⊥AB于G,过点O作OM⊥HG于M,延长ED交AB于N.
在Rt△DCN中,cos∠DCN= =,CN==5.
易证∠OHM=∠HNG,cos∠HNG=sin∠DCN=.
在Rt三角形OMH中,MH=OMcos∠OHM=OMcos∠HNG=4,
∴HG=MG-MH=-4=.
在Rt△HNG中,同理可求得GN=×=.
∴CG=GN-CN=,从而AC=AG+CG=AR-GR+CG=AR-OM+CG=,
∴AP=AC-PG=-3=.
如图,当DE在圆O右侧,E在圆上时,过点E作EG⊥AB于G,过点O作OH⊥AB于H,过点E作EM⊥OH于M,延长ED交AB于N.
在Rt△CDE中,易求得DE=4,CE=5.
∴EN=2DE=8,CN=CE=5.
在Rt△EGN中,易求得GN=,EG=.
∴CG=GN-CN=,MH=EG=.
∴OM=OH-MH=3,从而HG=ME=4
∴AP=AC-PC=AH+HG+CG-PC=.
所以m的取值范围为.
故选A.
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【题目】太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最佳.如图,某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光与玻璃吸热管垂直).已知:支架CF=100 cm,CD=20 cm,FE⊥AD于E,若θ=37°,求EF的长.(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈)
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3cm.动点P从点A出发,以cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发,以1cm/s的速度沿折线ACCB方向运动到点B.设△APQ的面积为y(cm2).运动时间为x(s),则下列图象能反映y与x之间关系的是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知二次函数的图象经过点A(4,0),与y轴交于点B.在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4),过点C作x轴的垂线交直线AB于点E,交该二次函数图象于点D.
(1)求a的值和直线AB的解析式;
(2)过点D作DF⊥AB于点F,设△ACE,△DEF的面积分别为S1,S2,若S1=4S2,求m的值;
(3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点G是线段AB上的动点,当四边形DEGH是平行四边形,且周长取最大值时,求点G的坐标.
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【题目】数学课上,潘老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的高线等于这条边的一半,那么称这个三角形为“垂美三角形”,这条边称为这个三角形的“垂美边”.
概念理解:
(1)如图①,已知∠A=90°,AB=AC,请证明等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”.
探索运用:
(2)已知等腰△ABC是“垂美三角形”,请求出顶角的度数.
能力提升:
(3)如图②,在直角坐标系中,点A为x轴正半轴上动点,在反比例函数的图象上是否存在点B,使△OAB是“垂美三角形”,且OA,OB均为“垂美边”,若存在,请求出点B的坐标.
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【题目】如图,点A1,B1,C1,D1,E1,F1分别是正六边形ABCDEF六条边的中点,连接AB1,BC1,CD1,DE1,EF1,FA1后得到六边形GHIJKL,则S六边形GHIJKI:S六边形ABCDEF的值为____.
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【题目】在△ABC中,已知∠CAB=60°,D、E分别是边AB、AC上的点,且∠AED=60°,ED+DB=CE,∠CDB=2∠CDE,则∠DCB等于_____.
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【题目】某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品,将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合).现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉,如果作品有角落相邻,那么相邻的角落共享一枚图钉(例如用9枚图钉将4张作品钉在墙上如图).若有28枚图钉可供选用,则最多可以展示绘画作品( )
A. 16张B. 18张C. 20张D. 21张
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