Question

【题目】已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ① ② 是否存在以 ， ， 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．

Answer 1

【答案】解：解法1：将①②两式相乘，得 ，
即： ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a ．
因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
解法2：结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③
又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），
代入③式，得 ，
即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a ．
因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
【解析】解法一：根据已知，将两式相乘，运用平方差公式、完全平方式、提取公因式将乘积分解为 ．再根据每个因式都可能等于零，及勾股定理，判断三角形为直角三角形．最大角度也就是90°
解法二：将①式变形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角度也就是90°．本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三角形三边的关系．