Question

【题目】如图，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF的值是( )

A. 4B. 2 C. 4 D. 不确定

Answer 1

【答案】A

【解析】

易证：AD=BC=4．通过证明△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．从而求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．

解：当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值，理由如下：

连结OA、OB、OC、OD，如图：

∵DG与 ⊙O 相切，

∴∠GDA=∠ABD，

∵∠ADG=30°，

∴∠ABD=30°，

∴∠AOD=2∠ABD=60°，

∵OA=OD，

∴△AOD为等边三角形，

∴AD=OA=4，

同理可得：BC=4，

∵PE∥BC，PF∥AD，

∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA，

，

，

，

∴PE+PF=4，

∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4.

故答案为：A.