Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，∠A的度数为60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．以下四个结论：①cos∠BFE= ；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号数是（ ）
A.①②
B.①③
C.③④
D.②④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵∠A=60° ∴∠ABC+∠BCA=180°﹣∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分线分别是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF= （∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE= ，
∴即cos∠BFE= ；故①正确；
∵∠BDC=∠A+ ∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°﹣∠A﹣2∠DBA=120°﹣2∠DBA
若BC=BD成立，则应有∠BDC=∠BCA
应有60°+∠DBA=120°﹣2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此时∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根据题意，没有条件可以说明∠ABC是40°，
故②错误；
∵点F是△ABC内心，作FW⊥AC，FS⊥AB
则FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正确；
由于点F是内心而不是各边中线的交点，故BF=2DF不一定成立，因此④不正确．
因此本题正确的结论为①③．
故选B．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的外接圆与外心的相关知识，掌握过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．