Question

已知

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

，求

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

．

Answer 1

考点：对称式和轮换对称式

专题：计算题

分析：设

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

=k，则有y+z=kx①，z+x=ky②，x+y=kz③，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=k³．由①+②+③可求出k=2或-1，就可解决问题．

解答：解：设

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

=k，
则有y+z=kx①，z+x=ky②，x+y=kz③，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=k³．
由①+②+③得：2x+2y+2z=kx+ky+kz，
∴2（x+y+z）=k（x+y+z），
∴（k-2）（x+y+z）=0，
∴k=2或x+y+z=0，
∴k=2或k=

y+z

x

=

-x

x

=-1．
Ⅰ．当k=2时，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=k³=8；
Ⅱ．当k=-1时，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=k³=-1．
综上所述：

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

的值为8或-1．

点评：本题考查的是求轮换对称式的值，运用整体思想是解决本题的关键，需要注意的是：由于x+y+z可能为0，因此在运用等式2（x+y+z）=k（x+y+z）求k的过程中，等式两边不能同时除以x+y+z，只能通过移项并提取公因式来解决问题．