【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴相交于点C(0,﹣3),顶点为D.
(1)求出抛物线y=x2+bx+c的表达式;
(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.
①当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形.
②设四边形OBFC的面积为S,求S的最大值.
【答案】
(1)
解:∵抛物线过B、C两点,
∴ ,解得 ,
∴抛物线表达式为y=x2﹣2x﹣3
(2)
解:①∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴直线BC解析式为y=x﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4),
∴E(1,﹣2),
∴DE=﹣2﹣(﹣4)=2,
∵PF∥DE,且P(m,m﹣3),
∴F(m,m2﹣2m﹣3),
∵点P为线段BC上的一个动点,
∴PF=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,
当四边形PEDF为平行四边形时,则有PF=DE=2,
即﹣m2+3m=2,解得m=1(舍去)或m=2,
∴当m的值为2时,四边形PEDF为平行四边形;②由①可知PF=﹣m2+3m,
∴S△FBC= PFOB= ×3(﹣m2+3m)=﹣ (m﹣ )2+ ,
∵S△OBC= OBOC= ×3×3= ,
∴S=S△FBC+S△OBC=﹣ (m﹣ )2+ + =﹣ (m﹣ )2+ ,
∵﹣ <0,
∴当m= 时,S有最大值
【解析】(1)由B、C两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的表达式;(2)①可求得直线BC的解析式,则可表示出P、F的坐标,从而可表示出PF和DE的长,由平行四边形的性质可知PF=DE,则可得到关于m的方程,可求得m的值;②用m可表示出PF的长,则可表示出△BCF的面积,从而可表示出四边形OBFC的面积,利用二次函数的性质可求得其最大值.
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【题目】如图,已知,BC∥OA,∠B=∠A=100°,试回答下列问题:
(1)如图①,求证:OB∥AC.
(2)如图②,若点E、F在线段BC上,且满足∠FOC=∠AOC,并且OE平分∠BOF.求∠EOC的度数.
(3)在(2)的条件下,若平行移动AC,如图③,那么∠OCB:∠OFB的值是否随之发生变化?若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值.
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【题目】如图,是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,已知抛物线的对称轴为x=2,与x轴的一个交点是(﹣1,0).下列结论:
①ac<0;
②4a﹣2b+c>0;
③抛物线与x轴的另一个交点是(4,0);
④点(﹣3,y1),(6,y2)都在抛物线上,则有y1<y2 . 其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,在 ABC中,AD平分 BAC,按如下步骤作图:
第一步,分别以点A、D为圆心,以大于 AD的长为半径在AD两侧做弧,交于两点M、N;
第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;
第三步,连接DE、DF.
若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是( ).
A.2
B.4
C.6
D.8
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【题目】(A2013防城港)如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下: 甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断( )
A.甲正确,乙错误
B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误
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【题目】如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,在距离CD的正后方30米的观测点P处,以22°的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A,而在建筑物CD上距离地面3米高的E处,测得教学楼的顶端A的仰角为45°,求教学楼AB的高度.
(参考数据:sin22°≈ ,cos22°≈ ,tan22°≈ )
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【题目】如图,已知AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点,
(1)如图1,求证:△ECD是等腰三角形;
(2)如图2,CD与AB交点为F,若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的长.
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【题目】定义:直线l1与l2相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线l1、l2的距离分别为p、q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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