【题目】先阅读下列材料,然后解决后面的问题.
材料:一个三位数(百位数为a,十位数为b,个位数为c),若a+c=b,则称这个三整数
为“协和数”,同时规定c=
(k≠0),k称为“协和系数”,如264,因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6,所有264是“协和数”,则“协和数”k=2×4=8.
(1)对于“协和数”,求证:“协和数”
能被11整除.
(2)已知有两个十位数相同的“协和数”,
(a1>a2),且k1﹣k2=1,若y=k1+k2,用含b的式子表示y.
【答案】(1)证明见解析;(2)y==﹣1.
【解析】
(1)根据协和数的定义可得出a+c=b,由=100a+10b+c可得出
=99a+11b,可证出“协和数
”能被11整除;
(2)由已知可得k1﹣k2=a1b1﹣a2b2=a1(b﹣a1)﹣a2(b﹣a2)=(a1﹣a2)(b﹣a1﹣a2)=1,a1、a2、b均为整数,故a1﹣a2=1,b﹣a1﹣a2=1,可得a1+a2=b﹣1,所以a12﹣2a1a2+a22=1①,a12+2a1a2+a22=(b﹣1)2②,由①+②得:=
,所以
y=k1+k2=a1b1+a2b2=a1(b﹣a1)+a2(b﹣a2)=b(a1+a2)﹣()=b(b﹣1)﹣
.
(1)证明:∵为“协和数”,
∴a+c=b,
∵=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b=11(9a+b),
∵a是整数,b是整数,
∴9a+b是整数,
∴“协和数”能被11整除;
(2)∵k1﹣k2=a1b1﹣a2b2=a1(b﹣a1)﹣a2(b﹣a2)=(a1﹣a2)(b﹣a1﹣a2)=1,a1、a2、b均为整数,
∴a1﹣a2=1,b﹣a1﹣a2=1,
∴a1+a2=b﹣1,
∴a12﹣2a1a2+a22=1①,a12+2a1a2+a22=(b﹣1)2②,
①+②得:=
,/p>
y=k1+k2=a1b1+a2b2=a1(b﹣a1)+a2(b﹣a2)=+
=b(a1+a2)﹣(
)=b(b﹣1)﹣
=
﹣1.
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【题目】已知中,记
,
.
(1)如图,若
平分
,
、
分别是
的外角
和
的平分线,
,用含
的代数式表示
的度数,用含
的代数式表示
的度数,并说明理由.
(2)如图,若点
为
的三条内角平分线的交点,
于点
, 猜想(1)中的两个结论是否发生变化,补全图形并直接写出你的结论.
.
.
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【题目】如图,在ABCD中,∠ACB=45°,点E在对角线AC上,BE=BA,BF⊥AC于点F,BF的延长线交AD于点G.点H在BC的延长线上,且CH=AG,连接EH.
(1)若BC=12,AB=13,求AF的长;
(2)求证:EB=EH.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,点D在边AB上,BE∥CD,AE⊥CD,垂足为F,且EF=2,点G在线段CF上,若∠GAF=45°,则△ACG的面积为_____.
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【题目】若点在数轴上分别表示实数
,则
两点之间的距离表示为
,回答下列问题:
(1)数轴上表示2和5的点之间的距离是_________;数轴上表示1和的两点之间的距离是___________;
(2)数轴上表示和
的两点
和
之间的距离是_______;如果
,那么
______;
(3)的最小值为_______,相应
的取值范围是___________;
(4)已知,则
的最大值为_______,最小值为________.
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【题目】锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关,第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题锐锐都不会,不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用,那么锐锐通关的概率是________;
(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,那么锐锐通关的概率是________;
(3)如果锐锐每道题各用一次“求助”,请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率.
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【题目】某小型企业实行工资与业绩挂钩制度,工人工资分为A、B、C、D四个档次.小明对该企业三月份工人工资进行调查,并根据收集到的数据,绘制了如下尚不完整的统计表与扇形统计图.
根据上面提供的信息,回答下列问题:
(1)求该企业共有多少人?
(2)请将统计表补充完整;
(3)扇形统计图中“C档次”的扇形所对的圆心角是 度.
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