Question

【题目】如图，在ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．

（1）若BC=12，AB=13，求AF的长；

（2）求证：EB=EH．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）证明见解析.

【解析】

（1）依据BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12，可得等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF==5；

（2）连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF=EF，AP=AG=CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB=EH，AB=BE，即可得到BE=EH．

解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12，

∴等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，

又∵AB=13，

∴Rt△ABF中，AF==5；

（2）如图，连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，

∵BE=BA，BF⊥AC，

∴AF=FE，

∴BG是AE的垂直平分线，

∴AG=EG，AP=EP，

∵∠GAE=∠ACB=45°，

∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°，

△APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，

∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°，

又∵AG=EG，

∴四边形APEG是正方形，

∴PF=EF，AP=AG=CH，

又∵BF=CF，

∴BP=CE，

∵∠APG=45°=∠BCF，

∴∠APB=∠HCE=135°，

∴△APB≌△HCE（SAS），

∴AB=EH，

又∵AB=BE，

∴BE=EH．