Question

如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，B、C、E在同一直线上，连接BD、AE和FG．
（1）求证：AE=BD；
（2）求∠AHB的度数；
（3）求证：DF=GE．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得到CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，则∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，即∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△ACE≌△BCD，则AE=BD；
（2）由于△ACE≌△BCD，可得到∠BDC=∠CEA，即∠FDC=∠GEC，根据三角形外角性质得到∠ACB=∠CAE+∠CEA=60°，则∠DBC+∠CAE=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠AHB的度数；
（3）由△ACE≌△BCD得到∠BDC=∠CEA，即∠FDC=∠GEC，再利用∠ACB=∠DCE=60°得到∠ACD=60°，然后根据“ASA”可判断△DFC≌△EGC，所以DF=GE．

解答：（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中

CA=CB ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠ACB=∠CAE+∠CEA=60°，
∴∠DBC+∠CAE=60°，
∴∠BHE=180°-60°=120°；
（3）证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC=∠CEA，即∠FDC=∠GEC，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
∴∠FCD=∠GCE，
∵在△DFC和△EGC中

∠FDC=∠GEC CD=CE ∠DCF=∠ECG

，
∴△DFC≌△EGC（ASA），
∴DF=GE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了等边三角形的性质．