Question

    如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线  ( 为常数，且≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

   （1）求的值及抛物线的函数表达式；

   （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

  （3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．

 

Answer 1

【答案】

（1）m=,

(2).

(3)定值1

【解析】（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；

（2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．过点E作EG⊥x轴于点G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求的E点有两个，不要漏解；

（3）本问较为复杂，分几个步骤解决：

第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；

第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M₁M₂的解析式可以表示为y=kx+3-k；

第3步：利用根与系数关系求得M₁、M₂两点坐标间的关系，得到x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；

第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M₁M₂、M₁P和M₂P的长度，相互比较即可得到结论：M₁P•M₂P/M₁M₂ =1为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论