Question

已知关于x的一元二次方程x²+3x+1-m=0
（1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）设x₁、x₂为方程的两个根，且m为最大的负整数，求x₁x₂+x₁+x₂的值．

Answer 1

解：（1）∵方程x²+3x+1-m=0有两个不相等的实数根，
∴△=3²-4×1×（1-m）=4m+5＞0，
解得：m＞-；

（2）∵m＞-，m为最大的负整数，
∴m=-1，
∴此一元二次方程为：x²+3x+2=0，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=2，
∴x₁x₂+x₁+x₂=2+（-3）=-1．
分析：（1）由一元二次方程x²+3x+1-m=0有两个不相等的实数根，可得判别式△=3²-4×1×（1-m）＞0，解此不等式即可求得m的取值范围；
（2）根据（1）可得：m=-1，继而可得一元二次方程为x²+3x+2=0，根据根与系数的关系，可得x₁x₂=2，x₁+x₂=-3，则可求得答案．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
掌握根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-，x₁x₂=．