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【题目】如图,AB是O的直径,点P在BA的延长线上,弦CDAB,垂足为E,且=PEPO.

(1)求证:PC是O的切线.

(2)若OE:EA=1:2,PA=6,求O的半径.

【答案】(1)证明见解析;(2)3

【解析】

试题分析:(1)连结OC,如图,由=PEPO和公共角可判断PCE∽△POC,则PEC=PCO=90°,然后根据切线的判定定理可判断PC是O的切线;

(2)设OE=x,则EA=2x,OA=OC=3x,证明OCE∽△OPC,利用相似比可表示出OP,则可列方程3x+6=9x,然后解出x即可得到O的半径.

试题解析:(1)证明:连结OC,如图,CDAB,∴∠PEC=90°,=PEPO,PC:PO=PE:PC,而CPE=OPC,∴△PCE∽△POC,∴∠PEC=PCO=90°,OCPC,PC是O的切线;

(2)解:设OE=x,则EA=2x,OA=OC=3x,∵∠COE=POC,OEC=OCP,∴△OCE∽△OPC,OC:OP=OE:OC,即3x:OP=x:3x,解得OP=9x,3x+6=9x,解得x=1,OC=3,即O的半径为3.

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