【题目】如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且=PEPO.
(1)求证:PC是⊙O的切线.
(2)若OE:EA=1:2,PA=6,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)3.
【解析】
试题分析:(1)连结OC,如图,由=PEPO和公共角可判断△PCE∽△POC,则∠PEC=∠PCO=90°,然后根据切线的判定定理可判断PC是⊙O的切线;
(2)设OE=x,则EA=2x,OA=OC=3x,证明△OCE∽△OPC,利用相似比可表示出OP,则可列方程3x+6=9x,然后解出x即可得到⊙O的半径.
试题解析:(1)证明:连结OC,如图,∵CD⊥AB,∴∠PEC=90°,∵=PEPO,∴PC:PO=PE:PC,而∠CPE=∠OPC,∴△PCE∽△POC,∴∠PEC=∠PCO=90°,∴OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线;
(2)解:设OE=x,则EA=2x,OA=OC=3x,∵∠COE=∠POC,∠OEC=∠OCP,∴△OCE∽△OPC,∴OC:OP=OE:OC,即3x:OP=x:3x,解得OP=9x,∴3x+6=9x,解得x=1,∴OC=3,即⊙O的半径为3.
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【题目】四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上,点A是⊙O上的一个动点(不与点B、C、D重合)。若四边形OBCD是平行四边形时,那么的数量关系是________________.
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【题目】解答
(1)如图①,等边△ABC中,点D是AB边上的一动点(点D与点B不重合),以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.你能发现线段AE、AD与AC之间的数量关系吗?证明你发现的结论.
(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想线段AE、AD与AC之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图所示,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到点P处再测得点C的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡角为(tan∠PAB=)且OAB在同一条直线上,求电视塔OC的高度以及此人所在位置的P的垂直高度。(测倾器的高度不计,结果保留根号)
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【题目】已知方程组甲由于看错了方程(1)中的a,得到方程组的解为 , 乙由于看错了方程(2)中的b,得到方程组的解为 , 若按正确的计算,求x+6y的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A(n,m)在第一象限,AB⊥x轴于B,AC⊥y轴于C,(m﹣3)2+n2﹣6n+9=0,过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点.
(1)求m、n的值并写出A、B、C三点的坐标;
(2)若OF+BE=AB,求证:CF=CE.
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【题目】如图所示,写出△ABC各顶点的坐标以及△ABC关于x对称的△A1B1C1的各顶点坐标,并画出△ABC关于y对称的△A2B2C2.并求△ABC的面积。
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