Question

7．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（$\sqrt{3}$，n），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为$\sqrt{3}$．
（1）求反比例函数解析式和点A的坐标；
（2）若一次函数y=mx+1的图象经过点A，并且与x轴交于点C，求AC的值．

Answer 1

分析 （1）根据△AOB的面积为$\sqrt{3}$，可求出AB，得出点A的坐标，代入反比例函数解析式可求出k的值，继而得出反比例函数解析式；
（2）将点A的坐标代入一次函数解析式可求出m的值，求出点C的坐标，继而可根据勾股定理求出AC．

解答 解：（1）∵A的横坐标为$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{3}$，
∵△AOB的面积为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×AB=$\sqrt{3}$，
∴AB=2，
∴点A的坐标为：（$\sqrt{3}$，2），
将（$\sqrt{3}$，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=2$\sqrt{3}$，
故反比例函数解析式为：y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．

（2）把A（$\sqrt{3}$，2）代入y=mx+1，得$\sqrt{3}$m+1=2，
解得：m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故一次函数解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．
令y=0，得0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
解得：x=-$\sqrt{3}$，即OC=$\sqrt{3}$，
则CB=OC+OB=2$\sqrt{3}$，
又∵AB=2，
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是求出点A的坐标，利用待定系数法求出两函数解析式，难度一般．