Question

【题目】问题背景：

如图1，△ABC为等边三角形，作AD⊥BC于点D，将∠ABC绕点B顺时针旋转30°后，BA，BC边与射线AD分别交于点E,F，求证：△BEF为等边三角形.

迁移应用：

如图2，△ABC为等边三角形，点P是△ABC外一点，∠BPC=60°，将∠BPC绕点P逆时针旋转60°后，PC边恰好经过点A，探究PA,PB,PC之间存在的数量关系，并证明你的结论；

拓展延伸：

如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°,将∠ABC绕点B顺时针旋转到如图所在的位置得到∠MBN，F是BM上一点，连接AF，DF，DF交BN于点E,若B,E两点恰好关于直线AF对称.

（1）证明△BEF是等边三角形；

（2）若DE=6,BE=2,求AF的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） PC=PA+PB；（3）

【解析】分析: （1）根据等边三角形的性质得到∠EBF=60°, 又由BD⊥AC得到∠BED=60°,从而得出结论; （2）在PC上截取PD=PB,连接BD,通过证明△APB≌△CBG得PA=GC,即可得出结论;(3) ①依据B,E两点关于直线AF对称得FE=FB,又由于∠EBF=60°即可得出结论; ②连接AE,过点A作AH⊥DE于点H，可得DH=3,HF=5, ∠EFA=30°,在Rt△AHF中，利用∠HFA的余弦即可求出AF的值.

详解:

(1)证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC=BC,∠BAC＝∠ABC=∠ACB=60°，

由题意得，∠ABE=30°，∠EBF=60°，

∴∠EBD=∠FBD=30°,

∵BD⊥AC，∴∠BED=60°,

∴△BEF为等边三角形;

（2） PC=PA+PB.

证明：在PC上截取PD=PB,连接BD,

∵∠BPC=60°，∴△BPG为等边三角形,

∴BG=BP,∠PBG=60°,PB=BG,

∴∠PBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=60°

∴∠PBA=∠GBC

又AB=BC,∴△APB≌△CBG,

∴PA=GC,

∴PC=PG+CG=PB+PA

(3)①∵B,E两点关于直线AF对称，∴FE=FB,

∵∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形；

②连接AE,过点A作AH⊥DE于点H，

∵B,E两点关于直线AF对称，∴AE=AB,

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,

∴AE=AD,所以DH=HE=DE=3，

∴HF=HE+EF=3+2=5，

由①知，△BEF是等边三角形，FA⊥EB,

∴∠EFA=∠EFB=30°

.在Rt△AHF中，cos∠HFA==,

∴AF=.

点睛:本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质以及三角函数, 解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用三角形相似．