Question

【题目】如图，已知直线l与⊙O 相离，OA⊥l于点A，交⊙O 于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC.

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若PC=2，OA=3，求线段PB的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

（1）连结OB，如图，由等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理可得AB是⊙O的切线；

（2）作OH⊥PB于H，如图，根据垂径定理得到BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=3-r，根据勾股定理得到AC2=PC2-PA2=（2）2-（3-r）2，AB2=OA2-OB2=32-r2，所以（2）2-（3-r）2=32-r2，解得r=1，则PA=2，然后证明Rt△APC∽Rt△HPO，利用相似比可计算出PH=，于是得到PB=2PH=．

（1）证明：连结OB，如图，

∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵OA⊥AC，

∴∠2+∠3=90°，

∵OB=OP，

∴∠4=∠5，

而∠3=∠4，

∴∠5+∠2=90°，

∴∠5+∠1=90°，

即∠OBA=90°，

∴OB⊥AB，

∵OB为⊙O半径

∴AB是⊙O的切线；

（2）作OH⊥PB于H，如图，则BH=PH，

设⊙O的半径为r，则PA=OA-OP=3-r，

在Rt△PAC中，

AC2=PC2-PA2=（2）2-（3-r）2，

在Rt△OAB中，AB2=OA2-OB2=32-r2，

而AB=AC，

∴（2）2-（3-r）2=32-r2

解得r=1，

∴PA=2，

∵∠3=∠4，

∴Rt△APC∽Rt△HPO，

∴，即，

∴PH=，

∴PB=2PH=．