Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠PAC＝24°，求∠AEB的度数；

（3）连结CE，若AE＝，CE＝1，求BE长．

Answer 1

【答案】（1）图形如图所示：见解析；（2）∠AEB＝45°；（3）BE＝3．

【解析】

（1）根据要求作出对称点，连线画出图形即可；

（2）根据图形的对称性，得出△ACD和△ADB是等腰三角形，利用∠AEB=∠EAD+∠ADE，求出∠EAD，∠ADE．

（3）在BE上截取BF=ED，连接AF，证明△ABF≌△ADE（SAS），得出BE=DF，利用勾股定理，求出EF即得．

（1）作直线AP,作点C的对称点D，连接AD，BD,图形如图所示：

（2）∵C，D关于PA对称，

∴∠PAC=∠PAD=24°，

∴∠CAD=48°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD=90°+48°=138°，

∴∠ADB=∠ABD=（180°-138°）=21°，

∴∠AEB=∠EAD+∠ADE=21°+24°=45°．

（3）如图，在BE上截取BF=ED，连接AF，由（1）中作图可知，

AC=AD，CE=DE，

又∵AB=AC，

∴AB=AD，则

在△ABF和△ADE中

∴△ABF≌△ADE（SAS），

∴AF=AE，∠BAF=∠DAE=∠CAE，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠FAC+∠BAC=∠BAC=90°，

∴EF=AE=2，

又BF=ED=CE=1，

∴BE=BF+EF=1+2=3.

故答案为：3.