Question

7．如图，在矩形ABCD中，BC=$\sqrt{3}$，AB=1，以BC为边作等边△BEC，CE，BE分别交AD于F，G两点，连接AE，则△AEF的周长等于$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 由等边三角形性质得：EC=EB=BC=$\sqrt{3}$，∠ECB=60°，由矩形的四个角为直角得：∠DCF=90°-60°=30°，
根据30度角的正切得：tan30°=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求DF的长，由30°角所对的直角边是斜边的一半求FC的长，所以可以依次求EF和AF的长，证明△EFA≌△DFC，则AE=DC=1，计算△AEF的周长即可．

解答 解：∵△BEC是等边三角形，
∴EC=EB=BC=$\sqrt{3}$，∠ECB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠D=90°，
∴∠DCF=90°-60°=30°，
tan30°=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{DF}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴FC=2DF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴EF=$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AF=AD-DF=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DF=EF，AF=FC，
∵∠EFA=∠DFC，
∴△EFA≌△DFC，
∴AE=DC=1，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=1+$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，以等边△BEC的性质为突破口，依次得出边和角的值，并利用全等三角形求出AE=CD是关键．