Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点B（﹣2，0），A（m，0）（﹣＜m＜0），以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连接BE与AD相交于点F．
（1）求证：BF=DO；
（2）设直线l是△BDO的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G．若G是△BDO的外心，试求经过B、F、O三点的抛物线的解析表达式；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线BE的对称点在x轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1 ）证明：在△ABF 和△ADO 中，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD ，∠BAF= ∠DAO=90 °．
又∵∠ABF= ∠ADO ，
∴△ABF ≌△ADO ，
∴BF=DO ；
（2 ）解：由（1 ），有△ABF ≌△ADO ，
∵AO=AF=m ．
∴点F （m ，m ）．
∵G 是△BDO 的外心，
∴点G 在DO 的垂直平分线上．
∴点B 也在DO 的垂直平分线上．
∴△DBO 为等腰三角形，
∵AB=AD ，
在Rt △BAD 中，由勾股定理得：
 
设经过B ，F ，O 三点的抛物线的解析表达式为y=ax²+bx+c （a ≠0 ）．
∵抛物线过点O （0 ，0 ），
∴c=0 ．
∴y=ax2+bx ．  ①
把点B 的坐标带入①中，
 

∴抛物线的解析表达式为
（3 ）解：假定在抛物线上存在一点P ，使点P 关于直线BE 的对称点P' 在x 轴上．
∵BE 是∠OBD 的平分线，
∴x 轴上的点P' 关于直线BE 的对称点P 必在直线BD 上，
即点P 是抛物线与直线BD 的交点．
设直线BD 的解析表达式为y=kx+b ，并设直线BD 与y 轴交于点Q ，则由△BOQ 是等腰直角三角形．
∴|OQ|=|OB| ．
 

∴直线BD 的解析表达式为 .

 
∴在抛物线上存在点P₁ （   ，0 ），P₂ （-2 ，  ），它们关于直线BE 的对称点都在x 轴上．