Question

【题目】在平面直角坐标系中，为原点，点，点．以为一边作等边三角形，点在第二象限．

(Ⅰ)如图①，求点的坐标；

(Ⅱ)将绕点顺时针旋转得，点旋转后的对应点为．

①如图②，当旋转角为30°时，与分别交于点与交于点，求与公共部分面积的值；

②若为线段的中点，求长的取值范围(直接写出结果即可)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)点的坐标为；(Ⅱ)①；②．

【解析】

(Ⅰ)利用的坐标，求解 利用等边三角形的性质可得答案；

(Ⅱ) ①过点作于点，分别求解,的面积，利用，可得答案；②如图，在以为圆心，为半径的圆上运动，延长至，使 则设，得到：所以：表示点与之间的距离，连接交圆于,当在的下方，最短，反之最长，从而可得答案．

解：(Ⅰ)，

．

在中，，

．

．

是等边三角形，

．

，

∴点的坐标为．

(Ⅱ)①过点作于点，

∵将顺时针旋转30°，得，

．

．

．

，

．

在中，，

．

．

，

．

在中，，

．

在中，，

．

．

．

②如图，在以为圆心，为半径的圆上运动，

延长至，使 则

设，则由勾股定理得：

为的中点，

所以：表示点与之间的距离，连接交圆于,

当在的下方，最短，反之最长，

设为

解得：

为：

解得： 或

当在的下方时，坐标为：

同理：当在的上方时，