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【题目】在平面中,给定线段ABCP两点,点C与点P分布在线段AB的异侧,满足,则称点C与点P是关于线段AB的关联点.在平面直角坐标系xOy中,已知点

1)在三个点中,点O与点P是关于线段AB的关联点的是________

2)若点C与点P是关于线段OA的关联点,求点P的纵坐标m的取值范围;

3)直线x轴,y轴分别交与点EF,若在线段AB上存在点P与点O是关于线段EF的关联点,直接写出b的取值范围.

【答案】1P1 P3;(2-≤m<0;(31≤b<2

【解析】

1)分别求出∠AP1B,∠AP2B,∠AP3B,当所求角等于90°时即为点O的关联点;

2)根据题意确定点OACP四边共圆,故点P在劣弧OA上,当CP是直径时,存在m的最小值,利用勾股定理求出半径AE,即可得到PD,由此求出m的最小值,得到m的取值范围;

3)求出直线AB的解析式为y=-x+2,证明直线与直线AB平行,当以EF为直径的圆与直线AB相切时有最小值,与直线AB相交时都可得到∠EPF=90°,故b<2,求出以EF为直径的圆与直线AB相切时FP=OF=BF=1,由此得到b的取值范围

解:(1)

,

,

,

∴∠AP1B=90°

∴∠AOB+AP1B=180°

∴点O与点P1是关于线段AB的关联点;

,

,故点O与点P2不是关于线段AB的关联点;

∴∠AOB+AP3B=180°

∴点O与点P3是关于线段AB的关联点;

故答案为:P1P3

(2) ∵点C与点P是关于线段OA的关联点,

∴点OACP四边共圆,故点P在劣弧OA上,当CP是直径时,存在m的最小值,

设圆心为E

,A2,0),

CPOACD=OD=AD=1

,

,

,

,

PD=,m=-

-≤m<0

(3)设直线AB的解析式为y=mx+n,将点A(2,0)B(02)代入,得

,∴

∴直线AB的解析式为y=-x+2

∴直线与直线AB平行,

A(2,0)B(02),

OA=OB

∴∠OFE=OBA=45°

∵∠EOF=90°,点P与点O是关于线段EF的关联点,

∴∠EPF=90°

∴当以EF为直径的圆与直线AB相切时有最小值,与直线AB相交时都可得到∠EPF=90°,故b<2

当以EF为直径的圆与直线AB相切时,连接EF中点N与点P,连接PEPF

∴∠BPN=90°

∴∠FNP=90°

FN=PN

∴∠NFP=NPF=45°

∴∠OFP=90°

∴四边形OFPE是矩形,

OF=OE

∴四边形OFPE是正方形,

OF=PF=BF=1

1≤b<2.

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