Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；
（1）求证：△ADC∽△BAC；
（2）当AB=8时，求sinB．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，作AE⊥BC于点E，

∵ = = = ，

∴BD=3CD=6，

∴CB=CD+BD=8，

则 = ， ，

∴ ，

∵∠C=∠C，

∴△ADC∽△BAC；

（2）解：∵△ADC∽△BAC，

∴ ，即 ，

∴AD=AC=4，

∵AE⊥BC，

∴DE= CD=1，

∴AE= = ，

∴sinB= = ．

【解析】（1）作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，从而得 ，结合∠C=∠C，可证得△ADC∽△BAC；（2）由△ADC∽△BAC得 ，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE= CD=1，由勾股定理求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．