【题目】已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
【答案】(1)AE=EF=AF;(2)证明过程见解析;(3)3-
【解析】
试题分析:(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形;(2)欲证明BE=CF,只要证明△BAE≌△CAF即可;(3)过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,根据FH=CFcos30°,因为CF=BE,只要求出BE即可解决问题.
试题解析:(1)结论AE=EF=AF.
理由:如图1中,连接AC, ∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°, ∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形, ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC, ∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,
∵∠EAF=60°, ∴∠CAF=∠DAF=30°, ∴AF⊥CD, ∴AE=AF(菱形的高相等),
∴△AEF是等边三角形, ∴AE=EF=AF.
(2)如图2中,∵∠BAC=∠EAF=60°, ∴∠BAE=∠CAE,
在△BAE和△CAF中,, ∴△BAE≌△CAF, ∴BE=CF.
(3)过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H, ∵∠EAB=15°,∠ABC=60°, ∴∠AEB=45°,
在RT△AGB中,∵∠ABC=60°AB=4, ∴BG=2,AG=2,在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE=2, ∴EB=EG﹣BG=2
﹣2, ∵△AEB≌△AFC,
∴AE=AF,EB=CF=2﹣2,∠AEB=∠AFC=45°, ∵∠EAF=60°,AE=AF, ∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=∠AFE=60° ∵∠AEB=45°,∠AEF=60°, ∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°,
在RT△EFH中,∠CEF=15°, ∴∠EFH=75°, ∵∠AFE=60°, ∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°,
∵∠AFC=45°,∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°, 在RT△CHF中,∵∠CFH=30°,CF=2﹣2,
∴FH=CFcos30°=(2﹣2)
=3﹣
. ∴点F到BC的距离为3﹣
.
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【题目】若M=(2015﹣1985)2,O=(2015﹣1985)×(2014﹣1986),N=(2014﹣1986)2,则M+N﹣2O的值为________
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【题目】如图,AC是矩形ABCD的对角线,过AC的中点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若AB=,∠DCF=30°,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)
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【题目】某地区2014年投入教育经费2900万元,2016年投入教育经费3509万元.
(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率;
(2)按照义务教育法规定,教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四,结合该地区国民生产总值的增长情况,该地区到2018年需投入教育经费4250万元,如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元?请说明理由.
(参考数据: =1.1,
=1.2,
=1.3,
=1.4)
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣
)x+c=0(a≠0)的两根之和( )
A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 不能确定
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【题目】如图,直线y=ax+b与反比例函数(x>0)的图象交于A(2,4),B(4,n)两点,与x轴,y轴分别交于C,D两点.
(1)求m,n的值;
(2)求ΔAOB的面积
(3)若线段CD上的点P到x轴,y轴的距离相等.求点P的坐标.
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【题目】把一元二次方程(x+1)(1﹣x)=2x化成二次项系数大于零的一般式为__,其中二次项系数是__,一次项系数是__,常数项是__.一元二次方程x2=2x的解为:__.
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【题目】数学兴趣小组同学想计算出学校旗杆的高度,他们发现旗杆的绳子系到地面还多1m,当绳子的下端拉开5m后,下端刚好接触地面,则旗杆的高度是________________.
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