Question

11．如图，点A（4，0），点C（0，2），直线y=-$\frac{1}{2}$x+3交x轴于点N，交y轴于点M，与矩形ABCO相交于D、E两点，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点D和E．
（1）请直接写出点D、E的坐标及双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的表达式；
（2）点Q自M向终边点N以每秒$\sqrt{5}$t个单位的速度运动，同时点P自N沿NO向终点O以每秒2t个单位的速度运动，若以点N、P、Q为顶点的三角形与△DBE相似，求t的值；
（3）把△DBE沿直线MN对折得△DB′E，请求出点B′的坐标，并判断点B′是否在直线AC上．

Answer 1

分析 （1）把y=2和x=4分别代入直线y=-$\frac{1}{2}$x+3即可得出点DE的坐标，再把D点坐标代入双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）求出k的值即可得出抛物线的解析式；
（2）求出MN的坐标，利用勾股定理求出MN的长，再分△NPQ∽△DBE与△NQP∽△DBE两种情况进行讨论；
（3）先利用待定系数法求出直线BB′的解析式，再设出点B′的坐标，根据B′D=BD，B′E=BE列出关于x的方程即可得出B′的坐标．求出直线AC的解析式，把点B′的坐标代入进行检验即可．

解答 解：（1）∵点A（4，0），点C（0，2），四边形OABC是矩形，
∴当x=4时，y=-$\frac{1}{2}$×4+3=1，
当y=2时，2=-$\frac{1}{2}$x+3，解得x=2，
∴D（2，2），E（4，1），
∵点D、E在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=4，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+3交x轴于点N，交y轴于点M，
∴M（0，3），N（6，0），
∴MN=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
∵点Q自M向终边点N以每秒$\sqrt{5}$t个单位的速度运动，同时点P自N沿NO向终点O以每秒2t个单位的速度运动，
∴NQ=3$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，NP=2t．
∵点A（4，0），点C（0，2），
∴B（4，2），
∵D（2，2），E（4，1），
∴BD=2，BE=1，DE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
当△NPQ∽△DBE时，$\frac{NP}{BD}$=$\frac{NQ}{DE}$，即$\frac{2t}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}-\sqrt{5}t}{\sqrt{5}}$，解得t=$\frac{3}{2}$（秒）；
当△NQP∽△DBE时，$\frac{NQ}{BD}$=$\frac{NP}{DE}$，即$\frac{3\sqrt{5}-\sqrt{5}t}{2}$=$\frac{2t}{\sqrt{5}}$，解得t=$\frac{5}{3}$（秒）．
综上所示，t=$\frac{3}{2}$秒或$\frac{5}{3}$秒；

（3）点B′在直线AC上．
如图2，设直线BB′的解析式为y=2x+b，
∵B（4，2），
∴2=8+b，解得b=-6，
∴直线BB′的解析式为y=2x-6．
设B′（x，2x-6），
∵点B与点B′关于直线MN对称，
∴B′D=BD=2，B′E=BE=1．
∵D（2，2），E（4，1），
∴B′D²=（2-x）²+（2-2x+6）²=4，B′E²=（4-x）²+（1-2x+6）²=1，
∴x₁=4（舍去），x₂=$\frac{16}{5}$，
∴B′（$\frac{16}{5}$，$\frac{2}{5}$）．
设直线AC的解析式为y=ax+c（a≠0），
∵点A（4，0），点C（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}4a+c=0\\ c=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ c=2\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
当x=$\frac{16}{5}$时，y=-$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{5}$+2=-$\frac{8}{5}$+2=$\frac{2}{5}$，
∴点B′在直线AC上．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数的解析式及轴对称的性质等知识，难度适中．