Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），tan∠CBO=$\frac{1}{3}$，E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE．
（1）求AC和OB的长；
（2）设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出OA、OC的长度，结合tan∠CBO=$\frac{1}{3}$，求出AC，在Rt△OAC中利用勾股定理可得出OB．
（2）AE=m，则BE=4-m，利用△BEF∽△BAC得出${（\frac{BE}{BA}）^2}=\frac{{S_{△BEF}}}{{S_{△BAC}}}$，即${（\frac{4-m}{4}）^2}=\frac{{S_{△BEF}}}{{S_{△BAC}}}$，求出△BEF的面积，再由S=S_△BCE-S_△BFE即可得出答案；
（3）结合（2）的表达式，利用配方法求函数最值即可，算出m的值后可得出点E坐标，也可判断此时△BCE的形状．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA=6，OC=6，
由勾股定理得到AC=$6\sqrt{2}$，
在Rt△BOC中，tan∠CBO=$\frac{1}{3}$
∴BO=2；

（2）依题意，AE=m，则BE=4-m，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴${（\frac{BE}{BA}）^2}=\frac{{S_{△BEF}}}{{S_{△BAC}}}$，
即${（\frac{4-m}{4}）^2}=\frac{{S_{△BEF}}}{{S_{△BAC}}}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}×4×6$=12，
∴S_△BEF=$\frac{3}{4}$（4-m）²，
∴$S_{△EFC}=S_{△CBE}-S_{△BEF}=3（4-m）-\frac{3}{4}{（4-m）^2}=-\frac{3}{4}m（m-4）$，
自变量m的取值范围是0＜m＜4．

（3）S存在最大值．
∵$S=-\frac{3}{4}m（m-4）=-\frac{3}{4}{（m-2）^2}+3$，
∴当m=2时，S有最大值，S_最大值=3，
∵AE=m=2，
∴OE=OA-AE=4，
∴点E的坐标为（4，0）．

点评 本题考查了相似形综合题，涉及了三角函数、点的坐标与线段长度之间的转换，解答本题要求我们熟练掌握配方法求二次函数最值的关系，难度较大．