Question

14．如图，在△ABC中，AB=17，BC=15，AC=8．
（1）按以下要求进行尺规作图：
①作△ABC的内切圆O，连接AO并延长交BC于D；
②过O作OE⊥BC于E；
（2）猜想∠BOD与∠COE的大小关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC和∠ACB的角平分线，它们相交于点O，作OE⊥BC于E，然后以点O为圆心，OE为半径作⊙O即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，再根据三角形内心的性质得∠OCE=∠OCA，∠OBA=∠OBD，∠OAB=∠OAC，则∠OCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，易得∠COE=45°，再利用三角形外角性质可计算出∠BOD=∠OBA+∠OAB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=45°，于是有∠BOD=∠COE．

解答 解：（1）如图，⊙O为△ABC的内切圆；

（2）∠BOD=∠COE．理由如下：
∵AB=17，BC=15，AC=8，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠OCE=∠OCA，∠OBA=∠OBD，∠OAB=∠OAC，
∴∠OCE=45°，
∵OE⊥BC，
∴∠COE=45°，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=45°，
∴∠BOD=∠COE．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的内切圆与内心．