Question

9．如图，在△ABC中，D、E、F分别是三边BC、AC、AB的中点，连结DE，在DE上任取一个点G，AG的延长线交FD的延长线于H，交CD于K，连结CG．求证：CG∥BH．

Answer 1

分析 先根据三角形中位线定理、平行线的性质以及平行线分线段成比例定理得出∠BFH=∠GEC且$\frac{BF}{FH}$=$\frac{GE}{EC}$，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得△FBH∽△EGC，根据相似三角形对应角相等得到∠BHF=∠GCE，再证明出∠HBC=∠GCB，根据平行线的判定可以证明CG∥BH．

解答 证明：∵D、E、F分别是三边BC、AC、AB的中点，
∴DF∥AC，DE∥AB，BF=AF，AE=EC，
∴∠BFH=∠BAC=∠GEC且$\frac{BF}{FH}$=$\frac{AF}{FH}$=$\frac{GD}{HD}$=$\frac{GE}{AE}$=$\frac{GE}{EC}$，
∴△FBH∽△EGC，
∴∠BHF=∠GCE，
∵∠HBC+∠BHF=∠BDF=∠BCA=∠GCE+∠GCB，
∴∠HBC=∠GCB，
∴BH∥CG．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形外角的性质，综合性较强，证明出△FBH∽△EGC是解题的关键．