Question

8．如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠C=2∠E．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若CD=12，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠E=∠BDC，根据平行线的判定推出AB∥DC，AE∥BD，根据平行线的判定得出即可；
（2）过A作AQ⊥DC于Q，过B作BF⊥DC于F，求出四边形AQFB是平行四边形，推出AQ=BF，解直角三角形求出BC=6，BD=6$\sqrt{3}$，由三角形的面积公式得出S_△DBC=$\frac{1}{2}$DB×BC=$\frac{1}{2}$DC×BF，求出BF，求出AQ，解直角三角形求出AD即可．

解答 （1）证明：∵∠C=60°，∠C=2∠E，
∴∠E=30°，
∵∠BDC=30°，
∴∠E=∠BDC，
∴AE∥BD，
∵∠ABC=120°，∠C=60°，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）解：
过A作AQ⊥DC于Q，过B作BF⊥DC于F，
则AQ∥BF，
∵AB∥DC，
∴四边形AQFB是平行四边形，
∴AQ=BF，
∵∠BDC=30°，∠C=60°，
∴∠DBC=90°，
∵DC=12，
∴BC=6，BD=6$\sqrt{3}$，
∵由三角形的面积公式得：S_△DBC=$\frac{1}{2}$DB×BC=$\frac{1}{2}$DC×BF，
∴BF=3$\sqrt{3}$，
∴AQ=3$\sqrt{3}$，
∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°，
∴∠ADQ=2∠BDC=60°，
∵在Rt△AQD中，∠AQD=90°，∠ADQ=60°，AQ=3$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{AQ}{sin60°}$=6．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理，解直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．