Question

【题目】若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t=100（x+y）+10y+x，则称实数t为“加成数”，将t的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h．规定q=t﹣h，f（m）=，例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h=213，∴q=321﹣213=108，f（m）==12．

（1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值；

（2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．

Answer 1

【答案】（1）当x=0，y=1时，q小=9，此时对应的“加成数”是110；（2）这样的“节气数”有4个，分别为24，72．

【解析】

（1）根据新定义，由求f（m）最小值，可知就是求q的最小值，根据定义表示q=t﹣h=100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）=9y+90x，可得结论；

（2）根据f（m）是24的倍数，f（m）=24n（n为正整数），得q=216n，由（1）中q=9y+90x，列方程，解方程可得结论．

（1）∵f（m）=，

∴当f（m）最小时，q最小，

∵t=100（x+y）+10y+x，h=100y+10x+x+y=101y+11x，

∴q=t﹣h=100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）=9y+90x，且1≤y≤9，0≤x≤9，x、y为正整数，

当x=0，y=1时，q小=9，此时对应的“加成数”是110；

（2）∵f（m）是24的倍数，

设f（m）=24n（n为正整数），

则24n=，q=216n，

由（1）知：q=9y+90x=9（y+10x），

∴216n=9（y+10x），

24n=y+10x，

①当n=1时，即y+10x=24，解得：x=2，y=4，则这样的“节气数”是24；

②当n=2时，即y+10x=48，解得：x=4，y=8，则这样的“节气数”是48；此时百位上的数为12，舍去.

③当n=3时，即y+10x=72，解得：x=7，y=2，则这样的“节气数”是72；

①当n=4时，即y+10x=96，解得：x=9，y=6，则这样的“节气数”是96；此时百位上的数为15，舍去.

①当n=5时，即y+10x=120，没有符合条件的整数解，

综上，这样的“节气数”有4个，分别为24， 72．