Question

（本题满分12分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，

（1）求的值为          .
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）=；（2）详见解析；（3）存在，理由详见解析

解析试题分析：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE==，由△ABE∽△ECF 得 =，
（2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，
∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；
（3）答：存在．
证明：作DM⊥AE于AB交于点M，
则有：DM∥EP，连接ME、DP，
∵在△ADM与△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MDEP，
∴四边形DMEP为平行四边形

考点: 正方形的综合运用