Question

3．将一根长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，设其中一段铁丝长为4x cm，两个正方形的面积和为y cm²
（1）求y与x的函数关系式；
（2）要使这两个正方形面积之和为17cm²，那么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（3）要使这两个正方形面积之和最小，则这根铁丝剪成两段后的长度各是多少？这两个正方形面积之和最小为多少？

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设其中一段长为4xcm，则另一段长为20-4xcm，根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积=$\frac{1}{16}$×周长×周长”列出面积的函数关系式；
（2）当y=17时，列方程即可得到结论；
（3）根据函数的性质求得最值．

解答 解：（1）设一段铁丝的长度为4x，另一段为（20-4x），则边长分别为x，$\frac{1}{4}$（20-4x）=5-x，
则y=x²+（5-x）（5-x）=2x²-10x+25； 
（2）1当y=17时，
即2x²-10x+25=17，
解得：x=1，或x=4，
故这根铁丝剪成两段后的长度分别是4cm，16cm．
（3）∵y=2x²-10x+25=2（x-$\frac{5}{2}$）²+12.5，
∴剪成两段均为10cm的长度时面积之和最小，最小面积和为12.5cm²．

点评 本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，列出关系式并整理成顶点式形式是解题的关键．