Question

12．如图，在?ABCD中，过A、B、D三点的⊙O交BC于点E，连接DE，∠CDE=∠DAE．
（1）求证：DE=DC；
（2）求证：直线DC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB=DC，进而证得∠DAE=∠AEB，证出$\widehat{DE}$=$\widehat{AB}$，即可得出DE=DC；
（2）作直径DF，连接EF，则∠EFD=∠EAD，证出∠EFD=∠CDE，再由DF是⊙O的直径，得出∠DEF=90°，得出∠FDC=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=DC，
∴∠DAE=∠AEB．
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{AB}$，
∴AB=DE，
∴DE=DC；
（2）解：如图所示：作直径DF，连接EF．
则∠EFD=∠EAD，
∵∠CDE=∠DAE，
∴∠EFD=∠CDE．
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DEF=90°，
∴∠EFD+∠FDE=90°，
∴∠CDE+∠FDE=90°
∴∠FDC=90°．
∴直线DC是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定、平行四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握切线的判定方法，并能进行有关推理计算是解决问题的关键．