Question

4．已知：如图，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点．
（1）若AC=4，BC=6，求CF的长；
（2）若AB=8CF，探究线段AC，BC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线段中点的性质得到DC=$\frac{1}{2}$AC=2，EC=$\frac{1}{2}$BC=3，求出DE的长，根据CF=DF-DC计算即可；
（2）根据（1）的结论可知DE=$\frac{1}{2}$AB，根据中点的性质得到DF=$\frac{1}{4}$AB，DC=$\frac{1}{2}$AC，结合图形列式计算得到AB=4AC，得到答案．

解答 解：（1）∵D为AC的中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴DE=DC+CE=5，
∵F为DE的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{5}{2}$，
∴CF=DF-DC=$\frac{1}{2}$；
（2）BC=3AC，
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$AC，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{4}$AB，
∴CF=DF-DC=$\frac{1}{4}$AB-$\frac{1}{2}$AC，
∵AB=8CF，
∴CF=$\frac{1}{8}$AB，
则$\frac{1}{8}$AB=$\frac{1}{4}$AB-$\frac{1}{2}$AC，
整理得，AB=4AC，
∴BC=3AC．

点评 本题考查的是两点间的距离和线段中点的概念，掌握线段的和差计算、灵活运用数形结合思想是解题的关键．