【题目】几何学的产生,源于人们对土地面积测量的需要,以面积早就成为人们认识图形性质与几何证明的有效工具,可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘.我们已经掌握了平行四边形面积的求法,但是一般四边形的面积往往不易求得,那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢?
(1)方法1:如图①,连接四边形的对角线,,分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线,所作四条线相交形成四边形,易证四边形是平行四边形.请直接写出S四边形ABCD和之间的关系:_______________.
方法2:如图②,取四边形四边的中点,,,,连接,,,,
(2)求证:四边形是平行四边形;
(3)请直接写出S四边形ABCD与之间的关系:_____________.
方法3:如图③,取四边形四边的中点,,,,连接,交于点.先将四边形绕点旋转得到四边形,易得点,,在同一直线上;再将四边形绕点旋转得到四边形,易得点,,在同一直线上;最后将四边形沿方向平移,使点与点重合,得到四边形;
(4)由旋转、平移可得_________,_________,所以,所以点,,在同一直线上,同理,点,,也在同一点线上,所以我们拼接成的图形是一个四边形.
(5)求证:四边形是平行四边形.
(注意:请考生在下面2题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分)
(6)应用1:如图④,在四边形中,对角线与交于点,,,,则S四边形ABCD= .
(7)应用2:如图⑤,在四边形中,点,,,分别是,,,的中点,连接,交于点,,,,则S四边形ABCD=___________
【答案】(1)S四边形ABCD;(2)见详解;(3)S四边形ABCD ;(4)AEO,OEB;(5)见详解;(6);(7)
【解析】
(1)先证四边形AEBO, 四边形BFCO, 四边形CGDO, 四边形DHAO都是平行四边形,可得S△ABO=S四边形AEBO, S△BCO=S四边形BFCO, S△CDO=S四边形CGDO, SADO=S四边形DHAO,
即可得出结论;
(2)证明,和,,即可得出结论;
(3)由,可得S四边形MNHE=S△ABD, S四边形MNGF=S△CBD,即可得出结论;
(4)有旋转的定义即可得出结论;
(5)先证,得到,再证,即可得出结论;
(6)应用方法1,过点H作HM⊥EF与点M,再计算即可得出答案;
(7)应用方法3,过点O作OM⊥IK与点M, 再计算即可得出答案.
解:方法一:如图,
∵EF∥AC∥HD,EH∥DB∥FG,
∴四边形AEBO, 四边形BFCO, 四边形CGDO, 四边形DHAO都是平行四边形,
∴S△ABO=S四边形AEBO, S△BCO=S四边形BFCO, S△CDO=S四边形CGDO, SADO=S四边形DHAO,
∴.
故答案为.
方法二:如图,连接.
(1),分别为,中点
..
,分别为,中点
.
,
四边形为平行四边形
(2),分别为,中点
..
∴S四边形MNHE=S△ABD, S四边形MNGF=S△CBD,
∴
故答案为.
方法3.(1)有旋转可知;.
故答案为∠AEO;∠OEB.
(2)证明:有旋转知.
.
旋转.
四边形为平行四边形
应用1:如图,应用方法1,过点H作HM⊥EF与点M,
∵,
∴∠AEM=60°, ∠EHM=30°,
∵,,
∴EM=3,EH=6,EF=8,
∴HM==,
∴=EF·HM=24
∴=,
故答案为.
应用2:如图,应用方法3,过点O作OM⊥IK与点M,
,
∵,
∴∠MIO=60°, ∠IOM=30°,
∵,,
∴IM=3,OI=6,IK=8,
∴OM==,
∴=KI·OM=24
∴S四边形ABCD=,
故答案为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为100米,宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为米.
(1)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的,求出此时通道的宽;
(2)如果通道宽(米)的值能使关于的方程有两个相等的实数根,并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米,求出此时通道的宽.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3cm/s,以O为圆心,0.8cm为半径作⊙O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单 位:s)(0<t<)。
(1)如图1,连接DQ平分∠BDC时,t的值为 ;
(2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;
(3)请你继续进行探究,并解答下列问题:
①证明:在运动过程中,点O始终在QM所在直线的左侧;
②如图3,在运动过程中,当QM与⊙O相切时,求t的值;并判断此时PM与⊙O是否也相切?说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,中,已知,,于D,,,如何求AD的长呢?
心怡同学灵活运用对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题,
请按照她的思路,探究并解答下列问题:
(1)分别以AB、AC为对称轴,画出、的轴对称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点,试证明四边形AEGF是正方形;
(2)设,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,求出x的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,为原点,已知直线与轴交于点,与轴交于点,点与点关于轴对称,如图①.
(1)点的坐标为________,点的坐标为________,点的坐标为________,直线的解析式为________.
(2)点是轴上的一个动点(点不与点重合),过点作轴的垂线,交直线于点.交直线于点(图②).
①如图②,当点在轴的正半轴上时,若的面积为,求点的坐标;
②连接,若,求点的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球,分别标有数字3、4、5.从袋子中随机取出一个小球,用小球上的数字作为十位的数字,然后放回;再取出一个小球,用小球上的数字作为个位上的数字,这样组成一个两位数,试问:按这种方法能组成哪些位数?十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,长BC为10cm.当小红折叠时,顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想,此时EC有多长?
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