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【题目】几何学的产生,源于人们对土地面积测量的需要,以面积早就成为人们认识图形性质与几何证明的有效工具,可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘.我们已经掌握了平行四边形面积的求法,但是一般四边形的面积往往不易求得,那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢?

1)方法1:如图①,连接四边形的对角线,分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线,所作四条线相交形成四边形,易证四边形是平行四边形.请直接写出S四边形ABCD之间的关系:_______________

方法2:如图②,取四边形四边的中点,连接

2)求证:四边形是平行四边形;

3)请直接写出S四边形ABCD之间的关系:_____________

方法3:如图③,取四边形四边的中点,连接交于点.先将四边形绕点旋转得到四边形,易得点在同一直线上;再将四边形绕点旋转得到四边形,易得点在同一直线上;最后将四边形沿方向平移,使点与点重合,得到四边形

4)由旋转、平移可得__________________,所以,所以点在同一直线上,同理,点也在同一点线上,所以我们拼接成的图形是一个四边形.

5)求证:四边形是平行四边形.

(注意:请考生在下面2题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分)

6)应用1:如图④,在四边形中,对角线交于点,则S四边形ABCD=

7)应用2:如图⑤,在四边形中,点分别是的中点,连接交于点,则S四边形ABCD=___________

【答案】1S四边形ABCD;(2)见详解;(3S四边形ABCD ;(4AEOOEB;(5)见详解;(6;(7

【解析】

1)先证四边形AEBO, 四边形BFCO, 四边形CGDO, 四边形DHAO都是平行四边形,可得SABO=S四边形AEBO, SBCO=S四边形BFCO, SCDO=S四边形CGDO, SADO=S四边形DHAO,

即可得出结论;

2)证明,即可得出结论;

3)由可得S四边形MNHE=SABD, S四边形MNGF=SCBD即可得出结论;

4)有旋转的定义即可得出结论;

5)先证,得到,再证,即可得出结论;

6)应用方法1,过点HHMEF与点M,再计算即可得出答案;

7)应用方法3,过点OOMIK与点M, 再计算即可得出答案.

解:方法一:如图,

EFACHD,EHDBFG,

∴四边形AEBO, 四边形BFCO, 四边形CGDO, 四边形DHAO都是平行四边形,

∴S△ABO=S四边形AEBO, S△BCO=S四边形BFCO, SCDO=S四边形CGDO, SADO=S四边形DHAO,

故答案为.

方法二:如图,连接

1分别为中点

分别为中点

四边形为平行四边形

2分别为中点

S四边形MNHE=SABD, S四边形MNGF=SCBD,

故答案为.

方法3.(1)有旋转可知

故答案为∠AEO;OEB.

2)证明:有旋转知.

旋转.

四边形为平行四边形

应用1:如图,应用方法1,过点H作HM⊥EF与点M,

∴∠AEM=60°, EHM=30°,

EM=3,EH=6,EF=8,

HM==,

=EF·HM=24

=,

故答案为.

应用2:如图,应用方法3,过点O作OM⊥IK与点M,

∴∠MIO=60°, IOM=30°,

IM=3,OI=6,IK=8,

OM==,

=KI·OM=24

S四边形ABCD=,

故答案为.

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