Question

8．以反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）为例，可用说理的方式解释y随x的增大而减小的原因，如图，当x＞0时，在函数图象上任取两点A（a，$\frac{1}{a}$），B（b，$\frac{1}{b}$），且0＜a＜b，仅需比较$\frac{1}{a}$与$\frac{1}{b}$大小即可．
∵$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$=$\frac{b-a}{ab}$，且0＜a＜b．
∴ab＞0，b-a＞0．
∴$\frac{b-a}{ab}$＞0．∴$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$．
这说明0＜a＜b时，$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$，也即：自变量增大了，对应的函数值反而减小了，也就说明x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）试说明：二次函数y=-x²在x＞0时，y随x的增大而减小．
（2）试说明：二次函数y=ax²（a≠0）的图象关于y轴对称．
（3）二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，且a，b，c为常数）的图象如图2所示，请用上述方法解释；为何其函数图象在直线x=-$\frac{b}{2a}$右侧的部分，y随着x的增大而增大． 

Answer 1

分析 （1）理解材料的基础上，仿照材料解决问题，
（2）函数图象上取一点，确定出该点关于y轴的对称点，再判断也在抛物线上，即可；
（3）在抛物线上当x＜-$\frac{b}{2a}$的图象上取连点A（m，am²+bm+c），B（n，an²+bn+c），判断出am²+bm+c-（an²+bn+c）＜0即可．

解答 解：（1）当x＞0时，在函数图象上任取两点A（m，-m²），B（n，-n²），且0＜n＜m，
∵-m²-（-n^2）=-（m+n）（m-n）且0＜n＜m．
∴（m+n）＞0，（m-n）＜0．
∴-（m+n）（m-n）＞0．
∴-m²＞-n²．
这说明0＜n＜m时，-m²＞-n²，也即：自变量增大了，对应的函数值反而减小了，也就说明x＞0时，y随x的增大而减小．
（2）在抛物线上取点A（b，ab²），
∴点A关于y轴的对称点B（-b，ab²），
把x=-b代入抛物线y=ax²，
∴y=ab²，
∴点B在抛物线上，
∴二次函数y=ax²（a≠0）的图象关于y轴对称．
（3）二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，且a，b，c为常数）的图象如图2所示，请用上述方法解释；为何其函数图象在直线x=-$\frac{b}{2a}$右侧的部分，y随着x的增大而增大．
当x＜-$\frac{b}{2a}$时，在函数图象上取两点A（m，am²+bm+c），B（n，an²+bn+c），（m＞n＞-$\frac{b}{2a}$）
∴am²+bm+c-（an²+bn+c）=（m-n）（am+an+b），
∵x＜-$\frac{b}{2a}$，a＞0，
∴ax＜-$\frac{1}{2}$b，
∴am＜-$\frac{1}{2}$b，an＜-$\frac{1}{2}$b，
∴am+an+b＜-$\frac{1}{2}$b-$\frac{1}{2}$b+b=0，
∵m＞n，
∴m-n＞0，
∴am²+bm+c-（an²+bn+c）=（m-n）（am+an+b）＜0，
∴二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，且a，b，c为常数）的图象在直线x=-$\frac{b}{2a}$右侧的部分，y随着x的增大而增大．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称性，理解和运用材料提供的方法解决问题，解本题的关键是读懂材料提供的方法，来解决问题．