Question

【题目】如图，矩形中，点，分别在，上，且，连接，，，且平分，，连接交于点，则线段的长为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

延长AD、BF交于点H，作EQ⊥BH，根据AD∥BC，平分，证明△EBH是等腰三角形，然后根据平行线分线段成比例定理求出，设BF=4x，求出BQ=QH=3x，QF=x，根据等角的三角函数值相等可得，求出BC=6，然后利用勾股定理分别求出BF、EF、ED和CE，作CM⊥BF于M，利用等积法求得CM，根据△EQG∽△CMG列出比例式，得到，求出即可解决问题.

解：延长AD、BF交于点H，作EQ⊥BH，

∵AD∥BC，平分，

∴∠H=∠HBC，∠EBH=∠HBC，

∴∠H=∠EBH，

∴EB=EH，即△EBH是等腰三角形，

∵AD∥BC，

∴，

∴设BF=4x，则FH=2x，

∴BQ=QH=3x，QF=x，

∵，

∴EQ= QF=x，

∴tan∠H＝，

∴tan∠FBC＝，

∴BC=6，

∴BF=，

∴EQ=QF=，

∴EF=，

∴ED=，

∴CE=，

作CM⊥BF于M，则，

∴，

∵∠EQG＝∠CMG，∠EGQ=∠CGM，

∴△EQG∽△CMG，

∴，

∴，

∴，

故答案为：.