Question

【题目】 如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（αx+b）≤a+b；④a＞﹣1．其中正确的有（　　）

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据二次函数的图象与性质得出对称轴为x＝1则得出点（3，y）关于直线x＝1对称的点为（﹣1，y）然后即可得出①正确，令y＝0代入y＝﹣x+c得出c，再根据函数图象知道1＜c＜2结合对称轴得出②正确，根据函数图象判断③即可，联立抛物线与一次函数的方程然后化简判断④的对错．

解：①由图象可知：抛物线的对称轴为x＝1时，

∴点（3，y）关于直线x＝1对称的点为（﹣1，y），

∵x＝3时，y＜0，

∴x＝﹣1，y＜0

∴a﹣b+c＜0，故①正确；

②令y＝0代入y＝﹣x+c，

∴x＝c，

由图象可知：1＜c＜2，

由图象可知：＝1，

∴2a+b＝0，

∴2a+b+c＝c＞0，故②正确；

③由图象可知：x＝1时，y的最大值为a+b+c，

∴当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，

即x（ax+b）≤a+b，故③正确；

④联立，

化简得：ax2+（b+1）x＝0，

∴x＝0或x＝，

即D的横坐标为，

由于b＝﹣2a，a＜0，且＜3，

∴﹣b﹣1＞3a，

∴a＜﹣1，故④错误，

故选：B．