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【题目】在一次机器人测试中,要求机器人从A出发到达B处.如图1,已知点A在O的正西方600cm处,B在O的正北方300cm处,且机器人在射线AO及其右侧(AO下方)区域的速度为20cm/秒,在射线AO的左侧(AO上方)区域的速度为10cm/秒.
(参考数据: ≈1.414, ≈1.732, ≈2.236, ≈2.449)
(1)分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间(精确到秒);
(2)若∠OCB=45°,求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间(精确到秒);
(3)如图2,作∠OAD=30°,再作BE⊥AD于E,交OA于P.试说明:从A出发到达B处,机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短.

【答案】
(1)解:沿A→O→B路线行进所用时间为:600÷20+300÷10=60(秒),

在Rt△OBA中,由勾股定理,得AB= =300 (cm).

∴沿A→B路线行进所用时间为:300 ÷10≈300×2.236÷10≈67(秒)


(2)解:在Rt△OBC中,OB=300,∠OCB=45°,∴OC=OB=300cm,BC= =300 (cm),

∴AC=600﹣300=300(cm).

∴沿A→C→B路线行进所用时间为:AC÷20+BC÷10=300÷20+300 ÷10≈15+42.42≈57(秒)


(3)解:在AO上任取异于点P的一点P′,作P′E′⊥AD于E′,连接P′B,

在Rt△APE和Rt△AP′E′中,sin30°= = ,∴EP= ,E′P′=

∴沿A→P→B路线行进所用时间为:AP÷20+PB÷10=EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10= BE(秒),

沿A→P′→B路线行进所用时间为:

AP′÷20+P′B÷10=E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10= (E′P′+P′B)(秒).

连接BE′,则E′P′+P′B>BE′>BE,∴ BE< (E′P′+P′B).

∴沿A→P→B路线行进所用时间,小于沿A→P′→B路线行进所用时间.

即机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短


【解析】(1)根据已知先求出沿A→O→B路线行进所用时间,然后由勾股定理求出AB,从而求出沿A→B路线行进所用时间;(2)首先解Rt△OBC,运用三角函数求出BC,继而得出AC,从而求出沿A→C→B路线到达B处所用的时间;(3)在AO上任取异于点P的一点P′,作P′E′⊥AD于E′,连接P′B,分别求出沿A→P→B路线行进所用时间和沿A→P′→B路线行进所用时间进行比较得出结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

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